Tampilkan postingan dengan label MATE-MATIKA )SMA XI). Tampilkan semua postingan

Minggu, 27 Maret 2011

Lingkaran

Elemen-elemen suatu lingkaran.

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Baca selengkapnya »

Kamis, 24 Maret 2011

Fungsi

Fungsi (matematika)

Grafik contoh sebuah fungsi,
$\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

$f : A \rightarrow B$

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

$x \in A$

$f : x \rightarrow x^2$

atau

$f(x) =\, x^2$

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ $\in A$ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

PELUANG

DEFINISI Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika P(AÇB) = P(A). P(B) Contoh: Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam. Sebuah bola diambil dari masing-masing tas. a) Keduanya berwarna putih b) Keduanya berwama hitam Jawab: Misal A = bola putih dari tas I B = bola putih dari tas II P(A) = 4/6 P(B) = 3/8 _ _ P(A) = 2/6 P(B) = 5/8 a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4 _ _ _ _ b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24 DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku : P (AUB) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p). Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)} n(S) - (6)2 = 36 A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)} n(A) = 5 B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)} n(B) = 3 P(A) = 5/36 P(B) = 3/36 AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ® { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) } n(AUB) = 8 P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang saling asing. DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) Contoh: Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil = { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6 B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima = {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6 P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang tidak saling asing.